線性響應TDDFT通過一系列數(shù)學變換，最終可以得到一個線性本征方程（Linear Eigenequation）。

這個方程里面，A和B是從哈密頓算符（Hamiltonian）在基函數(shù)里面的表征，跟體系基態(tài)的分子軌道緊密相連。X和Y可以看做是電子往上和往下躍遷的振幅，ω就是躍遷的頻率，也就是激發(fā)態(tài)和基態(tài)的能量差 。這個方程跟CIS相比，多了B這項，同時也多了Y這一本征向量。

線性響應TDDFT有幾種解法。從線性代數(shù)的角度來說，最直接的就是對哈密頓算符進行對角化，可以直接得到本征向量（X和Y）還有本征值（ω）。但是對角化方法從實踐角度來說是不可取的。 對角化方法的時間復雜度是O(O³V³)，雖然前因子小，不過當前沒有并行度高的算法，所以對大矩陣不適合并行處理。

大部分科研課題只考慮所有激發(fā)態(tài)里面的一小部分，所以對線性響應TDDFT來說，可以用迭代法，比如說Davidson或者Krylov算法，來查找對應的解。對能量最低的激發(fā)態(tài)，這類算法可以很高效收斂到對應的本征向量和本征值。因為迭代法需要對本征值或者本征向量初始猜測，其收斂效率跟初始猜測緊密相關。一般來說，若果激發(fā)態(tài)對應的本征向量牽涉到很多分子軌道，迭代法收斂會比較慢。

用迭代發(fā)解高能激發(fā)態(tài)是一個相對于解低能態(tài)更難的課題。有一些算法是基于人為限制A和B哈密頓算符的能量區(qū)域來求解。用這樣的算法，得到的解不一定會與低能激發(fā)態(tài)正交，違背了量子力學的原理。比較可信的算法，需要在不違背電子結(jié)構理論的前提下，對Davidson算法進行有效修改，得到TDDFT的真實解。高斯里面的算法就是這類比較可信的算法（J. Chem. Theory Comput., 2011, 7, 3540）。此算法可以在用戶指定的能量區(qū)內(nèi)尋找線性響應TDDFT的解。目前此算法已經(jīng)成功的用在很多X-光譜的解析。

這兩講主要側(cè)重TDDFT的一些基礎概念，后面幾講會著重講用TDDFT常見的一些問題和解決方案。

敬請期待“第三講”…